前言

高中时有做化学反应方程自动配平的想法，当时其实已经想到了用方程求解，当时并没有好的方法去求解，所以鸽了。之后也没有再学习化学了，所以就也没怎么想过这事了，前几天忽然想起这事来于是就着手做了一个，用了线性代数的东西，不过也不是很难所以讲讲原理.成品测试地址点我

化学反应的原子守恒

对于一个化学反应来说，无论如何反应，反应方程两边的各种原子数目都是相同的，例：

2KMnO4=加热=K2Mn04+MnO2+O2↑

左侧有2个K，右侧就一定也有2个，左右2个Mn，右侧也是2个，左侧8个O，右侧也是8个。

如果我们依次设这4种分子前面的系数为x1、x2、x3和x4的话，则有：

x1KMnO4=加热=x2K2Mn04+x3MnO2+x4O2↑

然后得到方程组：

x1=x2*2              ①(K守恒)
x1=x2+x3             ②(Mn守恒)
x1*4=x2*4+x3*2+x4*2  ③(O守恒)

通过解方程的方式不难判断出各项两两之间的比值，我们只要求出最简整数比就可以得到各部分的系数了。

比如②式减①式可以得到0=x3-x2即

x3=x2 ④

将①式和④式带入③式可以得到x2*2*4=x2*4+x2*2+x4*2,即:

x4=x2

然后取x2=1得

x1=2 x2=1 x3=1 x4=1

从而方程得到配平

通用的线性方程组求解——线性代数

上面的计算是需要通过观察的方式来解方程，但是计算机只是机器，它并不能做到真正意义上的观察（所谓机器学习，只是通过大量训练数据，判断出每个条件下输出啥的可能性最高，这个过程跟人的条件反射类似，所以也叫神经网络，但实际上机器并不会去理解这个条件的含义以及这么做会发生啥），因此我们需要找到一种通用的解方程的方式。

首先我们可以看到，我们的方程中有些缺少的项，如果我们要做通用的计算方法，这些空出来的部分显然会对我们造成困扰，所以我们需要把这些确实的项补上，于是得到

x1*1=x2*2+x3*0+x4*0
x1*1=x2*1+x3*1+x4*0
x1*4=x2*4+x3*2+x4*2

好了，这就是一个一个比较标准的形式了，但是为了统一处理，我们还需要进一步转换，将所有数移动到方程的一侧，让另一次等于0

x1*(-1)+x2*2+x3*0+x4*0+0=0
x1*(-1)+x2*1+x3*1+x4*0+0=0
x1*(-4)+x2*4+x3*2+x4*2+0=0

好了，这个方程就整理结束了，它的每个式子都是一模一样的形式的，每一项也都是一样的一个系数了。但是呢，计算机仍然不能理解x1-xn这种未知变量，反正我们计算的时候要的也就是前面那个系数而已，未知变量是啥符号本身我们不需要关心，所以我们也把它省略掉于是得到这样一个东西

-1 2 0 0 0
-1 1 1 0 0
-4 4 2 2 0

好了，这就包含了我们方程中的所有信息了，但是，它只是一堆数字，处理数字自然就是计算机拿手的活了。而这个东西就是一个矩阵。所谓线性代数，本质上核心就是把多元一次方程（一次方程也就是所谓线性，当其中一个未知量变化时，函数图像是一条直线，所以叫做线性，而二次方程或者其他的方程对应函数图像是抛物线或者其他曲线）。接下来我们就是要解这个方程了。

我们正常解方程，除了直接把已知的变量表达式带进去以外，还有两式相加减、等式两边同时乘以某个数的操作，那么这些操作在线性代数中仍然存在。比如我们让第一个式子方程两边同时乘-1，可以得到：

 1 -2 0 0 0     x1*(+1)+x2*(-2)+x3*0+x4*0+0=0
-1  1 1 0 0     x1*(-1)+x2*(+1)+x3*1+x4*0+0=0
-4  4 2 2 0     x1*(-4)+x2*(+4)+x3*2+x4*2+0=0

这样，我们第一行式子就算处理完了，我们已经得出1个x1和其他变量的关系了，接下来，我们希望得到x2的关系，但是，这时候把x1带进来就是一个不明智的选择了，因为我需要x1的时候我会需要知道x2，然后我需要x2的时候我又得知道x1，就死循环了，因此我们接下来要得到一个不包含x1的式子。但是矩阵这个行列还是得对齐的啊，那么我们其实需要的是让x1的系数变成0就好了。第一行已经用了，那我们自然就会想选第二行来操作。第二行的x1系数是-1，那么只要我们第一行正好已经求出了一个x1的关系，那么我们为了得到0，我们就应该加上一个第一行，或者更通用一点，我现在是多了-1个第1行，那我就减去-1个第一行这样。然后得到

 1 -2 0 0 0     x1*(+1)+x2*(-2)+x3*0+x4*0+0=0
 0 -1 1 0 0     x1*(+0)+x2*(-1)+x3*1+x4*0+0=0
-4  4 2 2 0     x1*(-4)+x2*(+4)+x3*2+x4*2+0=0

这样x2的关系就有了，并且还不包含x1了。但是这个系数是-1，我们不太满意，这会给之后的计算造成困扰，我们应该把它和x1一样变成单位数量1的表示，于是，方程两边同时乘-1得到

 1 -2  0 0 0     x1*(+1)+x2*(-2)+x3*(+0)+x4*0+0=0
 0  1 -1 0 0     x1*(+0)+x2*(+1)+x3*(-1)+x4*0+0=0
-4  4  2 2 0     x1*(-4)+x2*(+4)+x3*(+2)+x4*2+0=0

好了，我们还有最后一行数据，同样的方法，先把里面的x1消掉（即减去-4个第一行）得到

 1 -2  0 0 0     x1*(+1)+x2*(-2)+x3*(+0)+x4*0+0=0
 0  1 -1 0 0     x1*(+0)+x2*(+1)+x3*(-1)+x4*0+0=0
 0 -4  2 2 0     x1*(+0)+x2*(-4)+x3*(+2)+x4*2+0=0

但是这仍然不是一个满意的结果，里面包含了-4个x2，那么我们继续减去-4个第二行得到

 1 -2  0 0 0     x1*(+1)+x2*(-2)+x3*(+0)+x4*0+0=0
 0  1 -1 0 0     x1*(+0)+x2*(+1)+x3*(-1)+x4*0+0=0
 0  0 -2 2 0     x1*(+0)+x2*(+0)+x3*(-2)+x4*2+0=0

然后除以-2让它得到一个单位的x3的表示

 1 -2  0  0 0     x1*(+1)+x2*(-2)+x3*(+0)+x4*(+0)+0=0
 0  1 -1  0 0     x1*(+0)+x2*(+1)+x3*(-1)+x4*(+0)+0=0
 0  0  1 -1 0     x1*(+0)+x2*(+0)+x3*(+1)+x4*(-1)+0=0

好了，我们现在3行数据全部处理完毕了，如果有更多的行，我们只要按相同的方法做就行了。

但是似乎，这是一个4元方程，我们3个方程是求不出唯一解的。怎么得出反应方程的系数稍后再谈，先留着你们想想。如果你仔细观察的话就会发现这种格式下行数应该等于列数-1的时候我们才能求出xn的值，然后代入第n-1行，求出xn-1，然后一直求到x1。这个行数就是矩阵的 秩 。当矩阵的秩小于n时，我们是缺少式子的，我们能找到他们之间的关系，但是不能算出一个具体的数。只有秩等于n时才会有唯一解。

未知变量和等式关系数量相同就一定能解吗？

答案显然是不行。我们应该都有见过这个一个方程：

x=y
y=z
z=x

似乎是有3个不重复的式子，但是仔细想想前两条其实是能推出第三条的，这条是无意义的式子，在线性代数中表现如下

 1 -1  0  0
 0  1 -1  0
-1  0  1  0

第一二行显然不需要处理（或者说处理完结果也是一样，除以1是不会改变的，加上一个被0乘的数字也就是加0，也不会变），然后就是第三行，按我们之前的加-1个第一行。看好了，这跟第二行是不是只差个符号？我们把它用之前的方法继续处理

 1 -1  0  0
 0  1 -1  0
 0 -1  1  0

看好了，这跟第二行是不是只差个符号？我们把它用之前的方法继续处理

 1 -1  0  0
 0  1 -1  0
 0  0  0  0

然后就会发现这一行数据全部被消掉了，各项均为0了。那么这一行也是没有意义的，如果计算时碰到这样的行，那就应该把这一行删掉然后用下一行代替这一行的位置重新计算了。不过这里没有下一行了，所以这个方程的解也不唯一，算秩的时候也要把计算后全0的行去掉才能得出正确结论。

那方程多了会发生啥？

方程过多的情况比较少，我这也就不举例子了，但是你可以想象一下，如果多出来的行全为0，那么无伤大雅，多出来的部分被去掉就行。如果不是0我们会得到一个类似这样的矩阵：

1 a b
0 1 c
0 0 1

那么这个矩阵意味着啥呢？我们把方程还原回来就是1=0了！这显然是一个不成立的结果。这也正是因为定义了过多的方程，并且这些方程中存在冲突。例如我一边希望x=1一边希望x=2，然后代入的时候就会出现矛盾了。至于更多的方程的时候，因为矛盾已经产生，所以无法再继续进行下去了。不过做矩阵计算的时候，只要没出现矛盾（即秩大于n)就应该继续计算直到把多出来的行全部化为0或者出现矛盾。

最后看看为啥反应方程能得出唯一解

我们最后处理出来的矩阵长这样

 1 -2  0  0 0
 0  1 -1  0 0
 0  0  1 -1 0

你仔细想想我们实际的反应方程，我们系数全部乘x不也是成立的吗？但是我们不会那样写，这只是数学上成立。实际上我们要的是一个最简比，这样解当然得不到最后的结论。同时你应该发现我们解的这个方程常数项始终是0，实际上我们可以去掉，我们只要得出xn-1=？xn就可以了。所以我们实际解的方程的矩阵是这样

 1 -2  0  0
 0  1 -1  0
 0  0  1 -1

然后我们令x4=1;然后可以得出

x3=-1*(x4*(-1))/1=1
x2=-1*(x4*0+x3*(-1))/1=1
x1=-1*(x4*0+x3*0+x2*(-2))/1=2

当然，如果这中间出现了分数，则应化至最简单然后给各项都乘上。另外，由于绝大多数编程语言都没有分数计算的功能，而使用小数，不仅丢失精度，也不知道分母是多少，这会给我们的计算带来许多不确定性，因此需要自己实现分数计算，包括前面的数据处理就应该使用分数（很巧我用的例子正好都是整数），加减乘除都是初中难度就不多说了，唯一复杂的是怎么样将分数化简到最简。一个简单的思路是从二者之间值较小的那个取起，然后依次减少直到为2，如果中间的数字能被分子分母同时整除就用这个数进行依次约分。另外记得负号的处理，不然会很痛苦的。

最后谈谈特殊情况

这里还有一种特殊情况，如果我们矩阵算到了这个程度（c≠0）

1 a b c
0 0 d e
? ? ? ?

那么我们显然没法通过乘法让第n行第n列（这里是n=2）的0变成1了，这时候需要将下一行拿过来计算了，如果所有的行都这样那么这个方程就会因为xn不能确定而卡住，那么这样的方程也是求不出唯一解的